Geometri Non Eucluid
Rate This
Geometri non-Euclidean geometri tidak secara sah dapat diterima sebagai sampai abad ke-19.
Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai segera setelah Elements karya Euclid ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lain (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai “Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan “paralel mendalilkan”, yang dalam formulasi asli Euclid adalah:
Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan sudut.
Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi, termasuk matematika Arab Ibnu al-Haytham (Alhazen, abad ke-11),
matematikawan Persia Omar Khayyām (abad 12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan ahli matematika Italia Giovanni Girolamo Saccheri (abad 18).
Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat, termasuk segiempat Lambert dan Saccheri segiempat, adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang.” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma Playfair ‘s, memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean geometri.
Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan, mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Upaya-upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.
Khayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari “prinsip-prinsip Bertuah” (Aristoteles):
Dua garis lurus berpotongan konvergen dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu. “
Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan dalil nya dan karena berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah setara dengan postulat sendiri.
Contoh lain adalah anak al-Tusi, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai “Pseudo-Tusi”), yang menulis sebuah buku tentang subjek di 1298, berdasarkan pengalaman kemudian al-Tusi, yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel dalil
. “Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti proposisi banyak dari Elemen.”
Karyanya diterbitkan di Roma tahun 1594 dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang mengkritik pekerjaan ini serta yang dari Wallis
Giordano Vitale, dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan AB dan CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam sebuah karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik.
Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasil menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru yang layak, tapi tidak menyadarinya.
Pada 1766 Johann Lambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, Theorie der Parallellinien di mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima. Dia bekerja dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat Lambert, suatu segiempat dengan tiga sudut kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri).
Dia segera menghilangkan kemungkinan bahwa sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki Saccheri dan Khayyam, dan kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut. Tidak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah mencapai kontradiksi dengan asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa jumlah sudut dalam segitiga meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia untuk berspekulasi mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari imajiner. Dia tidak membawa ide ini lebih jauh.
Pada saat ini itu sangat percaya bahwa alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri Euclidean.
Penciptaan non-Euclidean geometri
Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hungaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri
Gauss disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak mempublikasikan.
Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri Riemann, membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold, Riemannian metrik, dan kelengkungan. Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola satuan dalam ruang Euclidean. Yang paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis paralel.
Terminologi
Itu Gauss yang menciptakan istilah “non-euclidean geometri”. Dia merujuk pada karyanya sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik.. Beberapa penulis modern yang masih menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim.
Pada tahun 1871, Felix Klein, dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah payung projective geometri. Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik” (dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari “geometri non-euclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau “berbentuk bulat panjang”.
Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut “non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya., Fisika terutama matematika. istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak Euclidean.
aksioma dasar non-Euclidean geometri
Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma.
Sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda.
Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima postulat Euclid, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara Birkhoff, misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang segitiga serupa tapi tidak kongruen.” Dalam salah satu sistem, penghapusan satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut. Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.
Untuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh negasinya. Meniadakan bentuk aksioma Playfair, karena itu adalah pernyataan majemuk (… terdapat satu dan hanya satu …), bisa dilakukan dengan dua cara.
Entah ada akan ada lebih dari satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel dalil (atau ekuivalen) dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, terdapat dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri hiperbolik.
Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai “kasus sudut tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan.
Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas. Geometri eliptik Riemann muncul sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.
Model non-Euclidean geometri
Untuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat Model non-Euclidean geometri.
Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °. Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “bidang datar.”
Geometri Elliptic
Model yang paling sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis “lingkaran besar” (seperti ekuator atau meridian di dunia), dan poin yang berlawanan satu sama lain (poin antipodal disebut) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar dari pesawat proyektif nyata. Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri eliptik metrik diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model pesawat proyektif tidak ada metrik tersebut.
Dalam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.
Geometri Hiperbolik
Bahkan setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah model seperti itu ada untuk geometri hiperbolik? Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami, pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian ruang hiperbolik, dan dalam makalah kedua di tahun yang sama, didefinisikan model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent, sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari model horosphere geometri Euclidean.)
Dalam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan Titik, yang tidak pada ℓ, ada garis tak terhingga banyaknya melalui A yang tidak berpotongan ℓ.
Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek Euclidean dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean yang secara visual membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka diwakili.
Sifat Jarang Lamber segiempat dalam geometr ihiperbolik Saccheri segiempat dalam tiga geometri
Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka yang tidak tergantung pada sifat paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari geometri netral (juga disebut geometri absolut). Namun, sifat yang membedakan satu geometri dari yang lain adalah orang-orang yang secara historis menerima perhatian yang besar.
Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan, kami juga memiliki berikut ini:
Suatu segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut keempat dari segiempat Lambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sudut kanan jika geometri Euclidean adalah tumpul atau jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Akibatnya, empat persegi panjang hanya ada dalam geometri Euclidean.
Suatu segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang yang sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. Dua lainnya dari sudut segiempat Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat panjang.
Jumlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180 ° jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Cacat segitiga adalah nilai numerik (180 ° – jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat dinyatakan sebagai: cacat segitiga dalam geometri hiperbolik adalah positif, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negatif.
Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai segera setelah Elements karya Euclid ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lain (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai “Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan “paralel mendalilkan”, yang dalam formulasi asli Euclid adalah:
Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan sudut.
Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi, termasuk matematika Arab Ibnu al-Haytham (Alhazen, abad ke-11),
matematikawan Persia Omar Khayyām (abad 12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan ahli matematika Italia Giovanni Girolamo Saccheri (abad 18).
Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat, termasuk segiempat Lambert dan Saccheri segiempat, adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang.” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma Playfair ‘s, memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean geometri.
Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan, mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Upaya-upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.
Khayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari “prinsip-prinsip Bertuah” (Aristoteles):
Dua garis lurus berpotongan konvergen dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu. “
Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan dalil nya dan karena berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah setara dengan postulat sendiri.
Contoh lain adalah anak al-Tusi, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai “Pseudo-Tusi”), yang menulis sebuah buku tentang subjek di 1298, berdasarkan pengalaman kemudian al-Tusi, yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel dalil
. “Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti proposisi banyak dari Elemen.”
Karyanya diterbitkan di Roma tahun 1594 dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang mengkritik pekerjaan ini serta yang dari Wallis
Giordano Vitale, dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan AB dan CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam sebuah karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik.
Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasil menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru yang layak, tapi tidak menyadarinya.
Pada 1766 Johann Lambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, Theorie der Parallellinien di mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima. Dia bekerja dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat Lambert, suatu segiempat dengan tiga sudut kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri).
Dia segera menghilangkan kemungkinan bahwa sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki Saccheri dan Khayyam, dan kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut. Tidak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah mencapai kontradiksi dengan asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa jumlah sudut dalam segitiga meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia untuk berspekulasi mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari imajiner. Dia tidak membawa ide ini lebih jauh.
Pada saat ini itu sangat percaya bahwa alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri Euclidean.
Penciptaan non-Euclidean geometri
Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hungaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri
Gauss disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak mempublikasikan.
Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri Riemann, membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold, Riemannian metrik, dan kelengkungan. Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola satuan dalam ruang Euclidean. Yang paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis paralel.
Terminologi
Itu Gauss yang menciptakan istilah “non-euclidean geometri”. Dia merujuk pada karyanya sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik.. Beberapa penulis modern yang masih menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim.
Pada tahun 1871, Felix Klein, dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah payung projective geometri. Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik” (dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari “geometri non-euclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau “berbentuk bulat panjang”.
Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut “non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya., Fisika terutama matematika. istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak Euclidean.
aksioma dasar non-Euclidean geometri
Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma.
Sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda.
Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima postulat Euclid, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara Birkhoff, misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang segitiga serupa tapi tidak kongruen.” Dalam salah satu sistem, penghapusan satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut. Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.
Untuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh negasinya. Meniadakan bentuk aksioma Playfair, karena itu adalah pernyataan majemuk (… terdapat satu dan hanya satu …), bisa dilakukan dengan dua cara.
Entah ada akan ada lebih dari satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel dalil (atau ekuivalen) dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, terdapat dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri hiperbolik.
Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai “kasus sudut tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan.
Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas. Geometri eliptik Riemann muncul sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.
Model non-Euclidean geometri
Untuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat Model non-Euclidean geometri.
Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °. Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “bidang datar.”
Geometri Elliptic
Model yang paling sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis “lingkaran besar” (seperti ekuator atau meridian di dunia), dan poin yang berlawanan satu sama lain (poin antipodal disebut) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar dari pesawat proyektif nyata. Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri eliptik metrik diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model pesawat proyektif tidak ada metrik tersebut.
Dalam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.
Geometri Hiperbolik
Bahkan setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah model seperti itu ada untuk geometri hiperbolik? Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami, pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian ruang hiperbolik, dan dalam makalah kedua di tahun yang sama, didefinisikan model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent, sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari model horosphere geometri Euclidean.)
Dalam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan Titik, yang tidak pada ℓ, ada garis tak terhingga banyaknya melalui A yang tidak berpotongan ℓ.
Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek Euclidean dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean yang secara visual membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka diwakili.
Sifat Jarang Lamber segiempat dalam geometr ihiperbolik Saccheri segiempat dalam tiga geometri
Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka yang tidak tergantung pada sifat paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari geometri netral (juga disebut geometri absolut). Namun, sifat yang membedakan satu geometri dari yang lain adalah orang-orang yang secara historis menerima perhatian yang besar.
Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan, kami juga memiliki berikut ini:
Suatu segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut keempat dari segiempat Lambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sudut kanan jika geometri Euclidean adalah tumpul atau jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Akibatnya, empat persegi panjang hanya ada dalam geometri Euclidean.
Suatu segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang yang sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. Dua lainnya dari sudut segiempat Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat panjang.
Jumlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180 ° jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Cacat segitiga adalah nilai numerik (180 ° – jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat dinyatakan sebagai: cacat segitiga dalam geometri hiperbolik adalah positif, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negatif.
Penting
Non-Euclidean geometri adalah contoh pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu pengetahuan. Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami, Klein, dan Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika ruang. Selain itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran kepala rasionalitas, titik Euclidean pandang diwakili otoritas mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep hiperbolis dan elips.
Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas matematika dan ilmu pengetahuan. Perawatan filsuf Immanuel Kant tentang pengetahuan manusia memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika – pengetahuan kita tentang ruang merupakan kebenaran bahwa kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini geometri unalterably benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran paradigma.
Keberadaan non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan Euclid ‘s Elemen. Masalah kurikulum yang hangat diperdebatkan pada saat itu dan bahkan subyek dari bermain, Euclid dan Rivals modern, ditulis oleh penulis Alice in Wonderland.
Algebras Planar
Dalam geometri analitik pesawat digambarkan dengan koordinat Cartesian: C = {(x, y): x, y di R}. Poin yang kadang-kadang diidentifikasi dengan nomor hypercomplex z = x + y ε dimana ε adalah persegi di {-1, 0, +1}. Pesawat Euclidean sesuai dengan kasus ε2 = -1 sejak modulus dari z diberikan oleh
zz ^ \ ast = (x + y \ epsilon) (x – y \ epsilon) = x ^ 2 + y ^ 2
dan kuantitas ini adalah kuadrat dari jarak Euclidean antara z dan titik asal. Misalnya, {z: z z * = 1} adalah lingkaran satuan.
Untuk aljabar planar, non-Euclidean geometri muncul dalam kasus lain. Ketika \ epsilon ^ 2 = 1, maka z adalah angka split-kompleks dan konvensional j menggantikan epsilon. Kemudian
z z ^ \ ast = (x + y) (x – y) = x ^ 2 – y ^ 2 \!
dan {z: z z * = 1} adalah hiperbola unit.
Ketika \ epsilon ^ 2 = 0, maka z adalah nomor ganda.
Pendekatan non-Euclidean geometri menjelaskan non-Euclidean sudut: parameter kemiringan pada bidang nomor ganda dan sudut hiperbolik pada bidang split-kompleks sesuai dengan memiringkan dalam geometri Euclidean. Memang, mereka masing-masing muncul dalam dekomposisi kutub dari bilangan kompleks.
Geometri Kinematik
Geometri hiperbolik menemukan aplikasi dalam kinematika dengan kosmologi diperkenalkan oleh Herman Minkowski pada tahun 1908. Minkowski diperkenalkan istilah seperti waktu worldline dan tepat ke dalam matematika fisika. Dia menyadari bahwa submanifold, peristiwa satu saat waktu yang tepat ke masa depan, dapat dianggap sebagai ruang hiperbolik tiga dimensi
Sudah pada tahun 1890 Alexander Macfarlane telah memetakan submanifold ini melalui Aljabar tentang Fisika dan hiperbolik. quaternions, meskipun Macfarlane tidak menggunakan bahasa kosmologis sebagai Minkowski lakukan di 1908. Struktur relevan sekarang disebut model hyperboloid geometri hiperbolik.
Non-Euclidean geometri aljabar planar mendukung kinematik dalam pesawat. Misalnya, jumlah split-kompleks z = EAJ dapat mewakili suatu peristiwa saat salah satu ruang-waktu ke masa depan suatu kerangka acuan dari sebuah kecepatan. Selanjutnya, perkalian dengan jumlah z untuk dorongan Lorentz pemetaan frame dengan kecepatan nol dengan dengan kecepatan a.
Studi kinematik memanfaatkan nomor ganda z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ 2 = 0, untuk mewakili deskripsi klasik gerak dalam waktu mutlak dan ruang: Persamaan x ^ \ perdana = x + vt, \ quad t ^ \ perdana = t adalah setara dengan pemetaan geser dalam aljabar linear:
\ Begin {pmatrix} x ‘\ \ t’ \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & v \ \ 0 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x \ \ t \ end {pmatrix}.
Dengan nomor ganda pemetaan adalah t ^ \ perdana + x ^ \ prime \ epsilon = (1 + v \ epsilon) (t + x \ epsilon) = t + (x + vt) \ epsilon
Pandangan lain dari relativitas khusus sebagai geometri non-Euclidean diajukan oleh EB Wilson dan Gilbert Lewis dalam Prosiding American Academy of Arts dan Ilmu Pengetahuan pada tahun 1912. Mereka dirubah geometri analitik tersirat dalam aljabar jumlah split-kompleks menjadi geometri sintetis aktiva pemotongan
Non-Euclidean geometri sering membuat penampilan dalam karya fiksi ilmiah dan fantasi.
Pada tahun 1895 HG Wells menerbitkan cerita pendek Kasus Luar Biasa Mata Davidson. Untuk menghargai cerita ini orang harus tahu bagaimana poin antipodal pada bola diidentifikasi dalam model dari pesawat berbentuk bulat panjang. Dalam cerita, di tengah-tengah badai, Sidney Davidson melihat “Gelombang dan sekunar sangat rapi” saat bekerja di sebuah laboratorium listrik pada Technical College Harlow. Pada penutupan cerita Davidson terbukti telah menyaksikan HMS Fulmar off Antipodes Island.
Non-Euclidean geometri kadang-kadang terhubung dengan pengaruh horor abad ke-20 penulis fiksi HP Lovecraft. Dalam karya-karyanya, hal-hal tidak wajar banyak mengikuti hukum mereka sendiri yang unik geometri: Dalam Mythos Lovecraft yang Cthulhu, kota cekung dari R’lyeh dicirikan oleh non-Euclidean geometri. Ini dikatakan menjadi pemandangan yang sangat mengganggu, sering ke titik mengemudi mereka yang memandang itu gila. Karakter utama dalam Robert Pirsig itu Zen dan Seni Pemeliharaan Sepeda Motor disebutkan Geometri Riemann pada berbagai kesempatan.
Dalam The Brothers Karamazov, Dostoevsky membahas non-Euclidean geometri melalui karakter Ivan utamanya.
Christopher Priest, The Dunia terbalik menggambarkan perjuangan hidup di planet dengan bentuk pseudosphere berputar.
Robert Heinlein, The Number of the Beast menggunakan non-Euclidean geometri untuk menjelaskan transportasi seketika melalui ruang dan waktu dan antara alam semesta paralel dan fiksi.
Non-Euclidean geometri adalah contoh pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu pengetahuan. Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami, Klein, dan Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika ruang. Selain itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran kepala rasionalitas, titik Euclidean pandang diwakili otoritas mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep hiperbolis dan elips.
Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas matematika dan ilmu pengetahuan. Perawatan filsuf Immanuel Kant tentang pengetahuan manusia memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika – pengetahuan kita tentang ruang merupakan kebenaran bahwa kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini geometri unalterably benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran paradigma.
Keberadaan non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan Euclid ‘s Elemen. Masalah kurikulum yang hangat diperdebatkan pada saat itu dan bahkan subyek dari bermain, Euclid dan Rivals modern, ditulis oleh penulis Alice in Wonderland.
Algebras Planar
Dalam geometri analitik pesawat digambarkan dengan koordinat Cartesian: C = {(x, y): x, y di R}. Poin yang kadang-kadang diidentifikasi dengan nomor hypercomplex z = x + y ε dimana ε adalah persegi di {-1, 0, +1}. Pesawat Euclidean sesuai dengan kasus ε2 = -1 sejak modulus dari z diberikan oleh
zz ^ \ ast = (x + y \ epsilon) (x – y \ epsilon) = x ^ 2 + y ^ 2
dan kuantitas ini adalah kuadrat dari jarak Euclidean antara z dan titik asal. Misalnya, {z: z z * = 1} adalah lingkaran satuan.
Untuk aljabar planar, non-Euclidean geometri muncul dalam kasus lain. Ketika \ epsilon ^ 2 = 1, maka z adalah angka split-kompleks dan konvensional j menggantikan epsilon. Kemudian
z z ^ \ ast = (x + y) (x – y) = x ^ 2 – y ^ 2 \!
dan {z: z z * = 1} adalah hiperbola unit.
Ketika \ epsilon ^ 2 = 0, maka z adalah nomor ganda.
Pendekatan non-Euclidean geometri menjelaskan non-Euclidean sudut: parameter kemiringan pada bidang nomor ganda dan sudut hiperbolik pada bidang split-kompleks sesuai dengan memiringkan dalam geometri Euclidean. Memang, mereka masing-masing muncul dalam dekomposisi kutub dari bilangan kompleks.
Geometri Kinematik
Geometri hiperbolik menemukan aplikasi dalam kinematika dengan kosmologi diperkenalkan oleh Herman Minkowski pada tahun 1908. Minkowski diperkenalkan istilah seperti waktu worldline dan tepat ke dalam matematika fisika. Dia menyadari bahwa submanifold, peristiwa satu saat waktu yang tepat ke masa depan, dapat dianggap sebagai ruang hiperbolik tiga dimensi
Sudah pada tahun 1890 Alexander Macfarlane telah memetakan submanifold ini melalui Aljabar tentang Fisika dan hiperbolik. quaternions, meskipun Macfarlane tidak menggunakan bahasa kosmologis sebagai Minkowski lakukan di 1908. Struktur relevan sekarang disebut model hyperboloid geometri hiperbolik.
Non-Euclidean geometri aljabar planar mendukung kinematik dalam pesawat. Misalnya, jumlah split-kompleks z = EAJ dapat mewakili suatu peristiwa saat salah satu ruang-waktu ke masa depan suatu kerangka acuan dari sebuah kecepatan. Selanjutnya, perkalian dengan jumlah z untuk dorongan Lorentz pemetaan frame dengan kecepatan nol dengan dengan kecepatan a.
Studi kinematik memanfaatkan nomor ganda z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ 2 = 0, untuk mewakili deskripsi klasik gerak dalam waktu mutlak dan ruang: Persamaan x ^ \ perdana = x + vt, \ quad t ^ \ perdana = t adalah setara dengan pemetaan geser dalam aljabar linear:
\ Begin {pmatrix} x ‘\ \ t’ \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & v \ \ 0 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x \ \ t \ end {pmatrix}.
Dengan nomor ganda pemetaan adalah t ^ \ perdana + x ^ \ prime \ epsilon = (1 + v \ epsilon) (t + x \ epsilon) = t + (x + vt) \ epsilon
Pandangan lain dari relativitas khusus sebagai geometri non-Euclidean diajukan oleh EB Wilson dan Gilbert Lewis dalam Prosiding American Academy of Arts dan Ilmu Pengetahuan pada tahun 1912. Mereka dirubah geometri analitik tersirat dalam aljabar jumlah split-kompleks menjadi geometri sintetis aktiva pemotongan
Non-Euclidean geometri sering membuat penampilan dalam karya fiksi ilmiah dan fantasi.
Pada tahun 1895 HG Wells menerbitkan cerita pendek Kasus Luar Biasa Mata Davidson. Untuk menghargai cerita ini orang harus tahu bagaimana poin antipodal pada bola diidentifikasi dalam model dari pesawat berbentuk bulat panjang. Dalam cerita, di tengah-tengah badai, Sidney Davidson melihat “Gelombang dan sekunar sangat rapi” saat bekerja di sebuah laboratorium listrik pada Technical College Harlow. Pada penutupan cerita Davidson terbukti telah menyaksikan HMS Fulmar off Antipodes Island.
Non-Euclidean geometri kadang-kadang terhubung dengan pengaruh horor abad ke-20 penulis fiksi HP Lovecraft. Dalam karya-karyanya, hal-hal tidak wajar banyak mengikuti hukum mereka sendiri yang unik geometri: Dalam Mythos Lovecraft yang Cthulhu, kota cekung dari R’lyeh dicirikan oleh non-Euclidean geometri. Ini dikatakan menjadi pemandangan yang sangat mengganggu, sering ke titik mengemudi mereka yang memandang itu gila. Karakter utama dalam Robert Pirsig itu Zen dan Seni Pemeliharaan Sepeda Motor disebutkan Geometri Riemann pada berbagai kesempatan.
Dalam The Brothers Karamazov, Dostoevsky membahas non-Euclidean geometri melalui karakter Ivan utamanya.
Christopher Priest, The Dunia terbalik menggambarkan perjuangan hidup di planet dengan bentuk pseudosphere berputar.
Robert Heinlein, The Number of the Beast menggunakan non-Euclidean geometri untuk menjelaskan transportasi seketika melalui ruang dan waktu dan antara alam semesta paralel dan fiksi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar